Реферат на тему развитие и понятие о числе

06.10.2019 Маргарита DEFAULT 2 comments

Но числа не появились в нашей жизни вдруг. А научившись считать по пальцам до десяти, люди сделали следующий шаг вперёд и стали считать десятками. Источником возникновения понятия отвлечённого числа является примитивный счёт предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона. Группировки и вспомогательные значки используются лишь для облегчения восприятия больших чисел. Натуральные числа 21 2. Современная теория вещественных чисел была построена во второй половине XIX века, в первую очередь трудами Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора. Он писал цифры дробного числа в одну строку с цифрами целого числа, при этом нумеруя их.

Вот тогда - то Архимед в своём трактате "Исчисление песчинок" - реферат на тему развитие и понятие о числе разработал систему, которая позволила выразить сколь угодно большое число, и показал, что натуральный ряд чисел был бесконечен. Следует заметить, что первое представление о потенциального бесконечно малом и бесконечно большом дал Анаксагор около - гг. Древнегреческий философ Аристотель - гг. Аналогичных принципов придерживался и Евклид. Математики Древней Греции, занявшись проблемами больших чисел, совершили скачок от конечного к бесконечному.

Смелая идея бесконечности, которая шла вразрез с философскими воззрениями о конечности Вселенной, открыла в математике широкие возможности, хотя и вызвала значительные противоречия, некоторые из них не раскрыты и по сей день. Одним из таких отрезков была диагональ квадрата со сторонами, равными единице.

Учёные того времени относили к числам только рациональные и не признавали иррациональные числа. Они нашли выход в том, что под числами стали понимать длины отрезков прямых. Геометрическое выражение чисел на первых этапах сыграло положительную роль в дальнейшем продвижении математики, но затем вызвало ряд затруднений и стало тормозом в прогрессе арифметики и алгебры.

Потребовалось не одна сотня лет для того, чтобы математики смогли осмыслить понятие иррационального числа и выработать способ записи такого числа и приближенного значения его в виде бесконечной десятичной дроби.

Как видно, понятие числа прошло длинный путь развития: сначала целые числа, затем дробные, рациональные положительные и отрицательные и, наконец, действительные. Любое число, которое можно выразить в виде конечной или бесконечной десятичной дроби, представляет собой элемент множества действительных чисел.

Реферат на тему развитие и понятие о числе 8351808

Но на этом развитие не завершилось. Оно получило название мнимой единицы. Долгое время мнимые числа не признавали за числа. После того как норвежский математик Гаспар Вессель - нашел возможность представить мнимое число геометрически, то так называемые "мнимые числа" получили своё место в множестве комплексных чисел. Однако и раньше интерпретация этих чисел имелась у Даламбера и Эйлера, которые галина дмитриевна золина диссертация в соответствие комплексным числам точки плоскости и некоторые функции комплексного переменного истолковали геометрически.

По рекомендации ирландского математика Уильяма Роуэна Гамильтона комплексные числа стали выражать парой действительных чисел в виде а,b.

Оно продолжает свой путь. Вавилонские шестидесятеричные дроби Числа — это неотъемлемое орудие современной цивилизации, используемое для упорядочения сферы ее деятельности. Память человечества не сохранила, не донесла до нас имя изобретателя колеса или гончарного круга. Это и неудивительно: более 10 тыс. Назвать же имя гения, впервые задавшегося вопросом "сколько?

В каменном веке, когда люди собирали плоды, ловили рыбу и охотились на животных, потребность в счёте возникла так же естественно, как и потребность в добывании огня. Об этом свидетельствуют находки археологов на стоянках первобытных людей. Например, в г. Позже в других местах учёные находили столь же древние каменные предметы с точками и чёрточками, сгруппированными по три или по. Такая система записи чисел называется единичной, так как любое число в ней образуется путём повторения одного знака, символизирующего единицу.

Группировки и вспомогательные значки используются лишь для облегчения восприятия больших чисел. Независимо от него, в х годах XVI. Это породило трудности, связанные с переходом от одного основания к другому. Там в знаменитой обсерватории, созданной видным астрономом Улугбеком, внуком Тамерлана, работал в х годах XV. Это он впервые изложил учение о десятичных дробях. Для отделения первой части от дробной он не применяет запятую1, а пишет целую часть черными чернилами, дробную же — красными или отделяет целую часть от дробной вертикальной чертой.

В г. Он был первым ученым, реферат на тему развитие и понятие о числе введения десятичной системы мер и весов. Эта мечта ученого была осуществлена лишь спустя свыше лет, когда была создана реферат на тему развитие и понятие о числе система мер. Дробь общего вида. Дроби общего видав которых и m, и n могут быть произвольными целыми числами, появляются уже в некоторых сочинениях Архимеда.

Реферат по математике

Индусы уже в первые века нашего летосчисления установили современные правила действий над обыкновенными дробями. Эти правила через руководство среднеазиатских математиков — ал-Хорезми и других — вошли в европейские учебники арифметики. Это случилось ранее распространения десятичных дробей. Только с введением метрической десятичной системы мер десятыми дроби заняли подобающее место в нашем обиходе.

Совокупность рациональных чисел обладает свойством замкнутости по отношению к четырем арифметическим действиям. Это значит, что сумма, разность, произведение и частное кроме частного при делении на нуль, к-ое не имеет смысла любых двух рациональных чисел является снова рациональным числом.

Далее, совокупность рациональных чисел обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными числами находится бесконечно много рациональных чисел.

Это даёт возможность при помощи рациональных чисел осуществлять измерение например, длины отрезка в выбранной единице масштаба с любой степенью точности. Таком образом, совокупность рациональных чисел оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей. Формальное обоснование понятий дробного международный договор диссертация отрицательного числа было осуществлено в 19. Здесь оказалось необходимым новое расширение понятий числа, заключающееся в переходе от множества рациональных чисел к множеству действительных вещественных чисел.

Этот переход состоит в присоединении к рациональным числам т. Это позволяет математикам-теоретикам отводить ему особое место среди других понятий математики. В разной форме высказываются положения о реферат на тему развитие и понятие о числе, что понятие натурального числа — исходная ступень математической абстракции, что оно является основой для построения большинства математических дисциплин3. Счет и число— основа всего последующего усвоения математики в школе4. Из-за этого обстоятельства, в частности, проистекают некоторые существенные недостатки принятых программ, методик и учебников по математике.

Необходимо специально рассмотреть действительную связь понятия о числе с другими понятиями. Существуют некоторые простые способы получения новых множеств из данных соединение, пересечение, разность.

Важное значение имеет понятие соответствия между элементами множеств.

6804783

Вводятся особые условия выполнимости и однозначности отображения частный случай последнего — взаимно однозначное отображение. Если существует взаимно однозначное отображение А в В, то множество А называется эквивалентным множеству В. С введением понятий эквивалентности и правильной части Множества становятся возможными определения бесконечного и конечного множеств множество, эквивалентное некоторой своей правильной части, называется бесконечным.

Каждое множество обладает таким свойством, как мощность эквивалентные множества имеют одну и ту же мощность, неэквивалентные — различные мощности. Создание системы натуральных чисел связано с необходимостью описания этого важного свойства множеств. Частный случай кольца — тело при операции деления.

Что касается позиционной системы, её зачатки были еще у вавилонян, но там эта система применялась для шестидесятеричного счета, а индийцы ввели её для десятичного. Существенным отличием между вещественными числами и этими построенными объектами является то, что первые, в отличие от вторых, понимаются нами лишь интуитивно и пока не являются строго определённым математическим понятием. Множество действительных чисел называют также числовой прямой. И сейчас есть племена, которые говорят "две руки" вместо "десять" и "руки и ноги" вместо "двадцать". Следующей ступенью в развития наименования чисел надо признать появление описательных выражений совокупность нескольких единиц.

Особый вид тела — полестр. Оно является описанием хотя и весьма важного, но все же лишь частного свойства множеств — их мощности. Таким образом, число в общей конструкции современных математических понятий не является первичным и основным. Важнейшие понятия множество, величина, группа, кольцо вводятся до числа и независимо от.

  • Да и в наш технократичный век, когда с числами сталкиваешься повсеместно на денежных знаках, ценниках, компьютерах, панелях стиральных машин и т.
  • В этом отношении шестидесятеричные дроби можно сравнить с нашими десятичными дробями.
  • Племена, не остановившиеся на счете по пальцам на одной руке, перешли к счету по пальцам второй руки и далее — по пальцам ног.
  • Например, число 4 обозначалось IV без одного пять , а число 9 - IX без одного девять.

Свойства же самих числовых систем раскрываются на основе других общематематических понятий. Если имеется в виду трудность или даже невозможность его определения в пределах арифметики, то это не исключает возможности полноценного определения в пределах всей математики. Если предполагается, что в развитой, готовой теории число вводится описывается через систему аксиом, то это не означает отсутствия более широких оснований у самих аксиом — либо в области математики, либо в других областях знания например, такие основания усматриваются в логике [16].

Однако в настоящее время существуют теории определения, не совпадающие с традиционным формально-логическим подходом к нему см. Кедрова [24] и др. Хорошо известно определение Фреге-Рассела см.

Гудстейна 1б1возбудившее ряд других поисков. Таким образом, реальные трудности определения числа, как математические, так и логические7, не дают оснований для признания его первичности в общематематической системе понятий.

Здесь предмет математического рассмотрения дан без его предварительного выражения в форме числа. При этом ряд чисел сам является лишь частным случаем указанных соотношений. Любопытно отметить, что у многих народов для обозначения числа 1 применялся один и тот же символ - вертикальная чёрточка. Это самое древнее число в истории человечества. Оно возникло из простой черты на земле, из зарубки на дереве или кости.

Поштучно считать предметы удобно тогда, когда их не очень. Пересчитывать же таким образом большие совокупности скучно и утомительно, поэтому возникла идея объединять единицы в группы. Появился счёт пятёрками, десятками, пальцев рук и ног "счетовода". Единичная система реферат на тему развитие и понятие о числе первобытных людей, рисовавших палочки на стенах пещеры или делавших зарубки на костях животных и ветках деревьев, не забыта и в наши дни.

Реферат на тему развитие и понятие о числе 1217

В настоящее время числовые системы, применяемые в математике, могут быть расчленены на пять главных ступеней, от самых простых до самых сложных:. Действительные числа, включая иррациональные числа, такие, как, например, число. Сегодня экономисты-математики пользуются матричной алгеброй для описания взаимосвязей сотен предприятий, а физики — преобразованиями в гильбертовом пространстве т.

Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел, которые позволят с большей простотой и стандартностью промоделировать все доступное предыдущим числам и откроют новые перспективы в моделировании еще более сложных задач. Число является одним из основных понятий математики.

Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Это определение было известно и Пифагору. Единичные дроби. Древние египтяне, несмотря на то, реферат на тему развитие и понятие о числе в течение нескольких тысячелетий своей истории развили высокую культуру, оставили после себя прекрасные памятники искусства, владели многими отраслями техники, однако в арифметике дробных чисел не пошли далее изобретения единичных дробей и дроби.

Если задача приводила к ответу, который мы выражаем дробным числом, египтяне его представляли в виде суммы единичных дробей или долей.

Реферат на тему развитие и понятие о числе 8747

Без знака сложения обходились и многие позднейшие народы, понимая писание дробей рядом, как сложение. Этот египетский реферат на тему развитие и понятие о числе письма частично сохранился и у. Мы пишем смешанные числа, ставя рядом, без какого-либо соединяющего знака, число целых единиц и дробей, и понимаем запись, как сумму: пишем вместо. Может показаться, что египетский способ пользования одними лишь единичными дробями делал решение задач сложным.

Не всегда это. Например, египетский автор решает задачу: нужно разделить 7 хлебов поровну между восемью лицами. Мы сказали бы, что каждый получает хлеба. Этот факт подсказывает ему, что для делёжа семи хлебов между восемью лицами нужно иметь 8 половинок, 8 четвертей и 8 осьмушек. Он режет 4 хлеба пополам, 2 хлеба — на четвертинки и 1 хлеб — на осьмушки и распределяет доли между получающими.

Как видим, в этой задаче египетский способ решения является более практичным. Решение задач практической жизни при помощи одних лишь долей египетский способ имело место почти у всех европейских народов, начиная с греков.

Систематические дроби. Одновременно с единичными дробями появились и систематические дроби. Самый ранний по времени вид таких дробей есть шестидесятеричные дроби, употреблявшиеся в древнем Вавилоне. Шестидесятеричными дробями пользовались все культурные народы до XVII века, особенно в форма дежурного начальнику работах, поэтому они и назывались физическими или астрономическими дробями, а дроби общего вида, в отличие от них — обыкновенными или народными.

Зарождение и развитие десятичных дробей в некоторых странах Азии было тесно связано с метрологией учением о мерах. Уже во II. Примерно в III в н. Тогда и было создано понятие о десятичной дроби, сохранившей метрологическую форму. Если вначале десятичные дроби выступали в качестве метрологических, конкретных дробей, десятых, сотых и т.

Однако в Китае, как и в древние, так и в средние века десятичные дроби не имели полной самостоятельности, оставаясь в той или иной мере связанными с метрологией. Более полную и систематическую трактовку получают десятичные дроби в трудах среднеазиатского ученного ал-Каши в х годах XV. Независимо от него, в х годах XVI. В Средней Азии и в Европе ученые пришли к десятичным дробям по аналогии с шестидесятеричными и разработали теорию десятичных дробей.

В середине века ученые пользовались десятичной нумерацией для вычислений с целыми числами, а шестидесятеричной — для вычислений с дробями в астрономии и других отраслях науки. Это породило трудности, связанные с переходом от одного основания реферат на тему развитие и понятие о числе другому. Нелегко усваивались обыкновенные дроби. Вообще считались самым трудным разделом арифметики. Идея шестидесятеричных дробей, идея одинакового систематического подразделения целого на одни и те же доли, с одной стороны, привели к мысли о десятичных дробях.

Среднеазиатский город Самарканд был в XV.

История развития понятия числа

Там в знаменитой обсерватории, созданной видным астрономом Улугбеком, внуком Тамерлана, работал в х годах XV. Это он впервые изложил учение о десятичных дробях. Термины эти заимствованы из шестидесятеричной нумерации. Вводя десятичные дроби, ал-Каши поставил себе задачу создать простую и удобную систему дробей, основанную на десятичной нумерации и имеющую те же преимущества, которые имели для вавилонян шестидесятеричные дроби.

Ал-Каши излагает правила и приводит примеры действий с десятичными дробями. Оно вводит специфическую для десятичных дробей запись: целая и дробная часть пишутся в одной строке. Для отделения первой части от дробной он не применяет запятую 1а пишет целую часть черными чернилами, дробную же — красными или отделяет целую часть от дробной вертикальной чертой.

Открытие десятичных дробей ал-Каши стало известно в Европе лишь спустя лет после того, как эти дроби были в конце XVI. Стевиным 2. Фламандский инженер и ученый Симон Стевиноколо лет после ал-Каши, изложил учение о десятичных дробях в Европе. В г.

Возникновение чисел 1. Для их моделирования Артур Кэли в году ввел числа, в которых элементы более трех записывались уже квадратными и прямоугольными таблицами матрицами и рассматривались как единый числовой объект. Раскопками, проведенными в ХХ веке среди развалин древних городов южной части Двуречья, обнаружено большое количество клинописных математических табличек. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного числа было осуществлено в 19 в.

Запись десятинных дробей у Стевина была отличной от нашей. Вот,например, как он записывал число 35, Итак, вместо запятой нуль в кружке. В других кружках или над цифрами указывается десятичный разряд: 1 — десятые, 2 — сотые и т. Стевик указывал на большое практическое значение десятичных дробей и настойчиво пропагандировал.

Рецензия дама с собачкойРеферат школа экономических учений
Реферат на тему трисекция углаДобрушская бумажная фабрика реферат
Водный налог реферат 2015Дефекты колбасных изделий реферат

Он был первым ученым, потребовавшим введения десятичной системы мер и весов. Эта мечта ученого была осуществлена лишь спустя свыше лет, когда была создана метрическая система мер. Дробь общего вида.

Развитие понятия числа

Дроби общего видав которых и m, реферат n могут быть произвольными целыми числами, появляются уже в некоторых сочинениях Архимеда. Индусы уже развитие первые века нашего летосчисления установили современные правила действий над обыкновенными дробями. Эти правила через руководство среднеазиатских математиков — ал-Хорезми и других — вошли в европейские учебники арифметики.

Это случилось ранее распространения десятичных дробей. Только с введением метрической десятичной системы мер десятыми дроби заняли подобающее место в нашем обиходе. Числа целые, дробные положительные и отрицательные и нуль получили общее название рациональных чисел. Совокупность рациональных чисел обладает свойством замкнутости по отношению к четырем арифметическим действиям. Это значит, что сумма, разность, произведение и частное кроме частного при делении на нуль, которое не имеет смысла любых двух рациональных чисел является снова рациональным числом.

Далее, совокупность рациональных чисел обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными числами находится бесконечно много рациональных чисел. Это даёт возможность при числе рациональных чисел осуществлять измерение например, длины отрезка в выбранной единице масштаба с любой степенью точности.

Таком образом, совокупность тему чисел оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного числа было осуществлено в 19. Совокупность рациональных чисел оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Здесь понятие необходимым новое расширение понятий числа, заключающееся в переходе от множества рациональных чисел к множеству действительных вещественных чисел.

Этот переход состоит в присоединении к рациональным числам т. В заключении я хочу сказать что без чисел сейчас некуда и я считаю что тема моя го реферата очень важна для меня и всех остальных людей, числа это наше все Часто говорят, что цифры управляют миром; по крайней мере нет сомнения в том, что цифры показывают, как им управлять. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.

Понятие числа - фундаментальное понятие как математики, так и информатики. В дальнейшем при изложении материала под числом мы будем понимать его величину, а не его символьную запись. Сегодня, в самом конце XX века, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?

Система счисления - это способ записи изображения чисел. Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные. Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.

Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и "вносит" в величину числа 30, а в числе та же цифра 3 обозначает количество сотен и "вносит" в величину числа Позиционные системы счисления - результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

Славянская система счисления На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они различали совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятии "много". Это был еще не счет, а лишь его зародыш.

Впоследствии способность различать одну от другой небольшие совокупности развивалась; возникли слова для обозначений понятий "четыре", "пять", "шесть", "семь". Предметы при счете сопоставлялись обычно с пальцами рук и ног. При переговорах туземцу достаточно было сказать, например, что он дошел в своем счете до третьего пальца правой ноги. Чтобы отсчитать нужное количество предметов, счет начинали сначала, от первого пальца правой руки.

При этом, отсчитывая каждый палец, одновременно отмечали и предметы. Одной из древнейших нумераций является реферат на тему развитие и понятие о числе система записи числовых данных. До нас дошли надписи, сохранившиеся внутри пирамид, на плитах и обелисках. Они состоят из картинок-иероглифов, которые изображают птиц, зверей, людей, части человеческого тела глаза, ноги и различные неодушевленные предметы.

Такой способ письма вообще характерен для ранних ступеней культуры. Подобные письмена были у обитателей Центральной Америки индейцев племени майя, в Перу.

В х годах нашего века были прочитаны долго не поддававшиеся расшифровке хеттские надписи. И, наконец, совсем недавно найден ключ к разгадке письмен индейцев племени майя и надписей с острова Пасхи.

Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились греческая, славянская, финикийская и. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков от 10 до 90 и целые количества сотен от до обозначались буквами алфавита.

Это значит, что сумма, разность, произведение и частное кроме частного при делении на нуль, которое не имеет смысла любых двух рациональных чисел является снова рациональным числом.

Далее, совокупность рациональных чисел обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными числами находится бесконечно много рациональных чисел. Это даёт возможность при помощи рациональных чисел осуществлять измерение например, длины отрезка в выбранной единице масштаба с любой степенью точности.

Таким образом, совокупность рациональных чисел оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного числа было осуществлено в 19. Совокупность рациональных чисел оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин.

Здесь оказалось необходимым новое расширение понятия числа, заключающееся в переходе от множества рациональных чисел к множеству действительных вещественных чисел. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных феврония петр муромские доклад также другие элементы, называемые иррациональными числами.

Наглядно понятие вещественного числа можно представить себе при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно, вещественное число.

Вследствие этого соответствия термин реферат на тему развитие и понятие о числе прямая обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел. Понятие вещественного числа прошло долгий путь становления. Вслед за этим Евдоксом Книдским была предпринята попытка построить общую теорию числа, включавшую несоизмеримые величины. После этого, на протяжении более двух тысяч лет, никто не ощущал необходимости в точном определении понятия вещественного числа, несмотря на постепенное расширение этого поняти.

Лишь во второй половине XIX века, когда развитие математического анализа потребовало перестройки его основ на новом, более высоком уровне строгости, в работах К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда, Г.

Развитие понятия натурального числа. Развитие понятие о числе реферат

Кантора, Э. Гейне, Ш. Мере была создана строгая теория вещественных чисел. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.

Первая развитая числовая система, построенная в Древней Греции, включала только натуральные числа и их отношения. Однако вскоре выяснилось, что для целей геометрии и астрономии этого недостаточно: например, отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны не может быть представлено ни натуральным, ни рациональным числом.

Для выхода из положения Мостовой курсовая работа Книдский ввёл, в дополнение к числам, более широкое понятие геометрической величины, то есть длины отрезка, площади или объёма. Классическая теория Дедекинда для построения вещественных чисел по своим принципам чрезвычайно похожа на изложение Евдокса.

Ситуация начала меняться в первые века н. После гибели античной науки на передний план выдвинулись индийские и исламские математики, для которых любой результат измерения или вычисления считался числом. Эти взгляды постепенно реферат на тему развитие и понятие о числе верх и в средневековой Европе, где поначалу разделяли рациональные и иррациональные буквально: неразумные числа их называли также мнимыми, абсурдными, глухими и т. Долгое время это прикладное определение считалось достаточным, так что практически важные свойства вещественных чисел и функций не доказывались, а считались интуитивно очевидными.

В этой работе ещё нет целостной системы вещественных чисел, но уже приводится современное определение непрерывности и показывается, что на этой основе теорема, упомянутая в заглавии, может быть строго доказана. В более поздней работе Больцано даёт набросок общей теории вещественных чисел, по идеям близкой к канторовской теории множеств, но эта его работа осталась неопубликованной при жизни автора и увидела свет только в году.

Развитие понятия числа - Рефератстраница 1. Реферат по математике на тему " Развитие понятия числа" Развитие понятия числа - refleader.